Question

limn→∞(1+ 2∧9+ 3∧9 +… +n∧9)/n∧10

Answer 1

如果不要求过程答案就是1/10

如果是高数计算题，那就比较复杂了。用数学归纳法。
当n趋于无穷时;
(1+2+……+n)/n^2=1/2
(1^2+2^2+……+n^2)/n^3=1/3 [ps:(1^2+2^2+……+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6]
(1^3+2^3+……+n^3)/n^4=1/4 [ps:(1^3+2^3+……+n^3)=n^2(n+1)^2/4]
如果是选择判断题目，看这个规律可以推测答案是1/10。
假设(1^(k-1)+2^(k-1)+……+n^（k-1）)/n^k=1/k 则
首先通过以下变换得到∑（i）^k
n^(k+1)-(n-1)^(k+1)=(k+1)n^k-k*(k+1)/2*n^(k-1)+o[n^(k-1)]
(n-1)^(k+1)-(n-2)^(k+1)=(k+1)（n-1）^k-k*(k+1)/2*（n-1）^(k-1)+o[（n-1）^(k-1)]
……
2^(k+1)-1^(k+1)=(k+1)2^k-k*(k+1)/2*2^(k-1)+o[2^(k-1)]
以上累加得到n^(k+1)=（k+1)∑（i）^k-k*(k+1)/2∑i^(k-1)+o[∑i^(k-1)]

所以有（k+1)∑（i）^k=n^(k+1)+k*(k+1)/2∑i^(k-1)-o[∑i^(k-1)]
即∑（i）^k={n^(k+1)+(k+1)*n^k/2-o[∑i^(k-1)]}/（k+1) 两边除以n^(K+1)，n趋于无穷得到
极限=1/(k+1).
这里主要用的原理就是求∑n^k时可通过n^（k+1）-(n-1)^(k+1)求得递推公式，由于证明题最后是跟n^(k+1)次做商取极限，所以计算时可以省去n^(k-1)的高阶无穷小项。
以上是个人思考出来比较复杂的证明方法，如果有什么好一点的证明方法记得分享哦。