Question

证明:当x>0时,e^[x/(1+x)]<1+x

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Answer 1

证明欲证e^[x/(1+x)]<1+x成立
需证x/(1+x)＜ln(1+x)成立
即需证(1+x)ln(1+x)-x＞0成立
令f(x)=(1+x)ln(1+x)-x(x＞0)
求导得
f'(x)=(1+x)'ln(1+x)+(1+x)×1/(1+x)-1
=ln(1+x)
由x＞0
故1+x＞1
即ln(1+x)＞ln1=0
即f'(x)＞0
即f(x)在（0，正无穷大）上增函数
又由f(0)=(1+0)ln(1+0)-0=
故f(x)＞f(0)=0
故(1+x)ln(1+x)-x＞0成立
故原不等式成立。