Question

已知定义在R上的函数F（x）满足F（x+y）=F（x）+F（y），当x＞0时，F（x）＜0，且对任意的 x∈[0，1]，不

已知定义在R上的函数F（x）满足F（x+y）=F（x）+F（y），当x＞0时，F（x）＜0，且对任意的 x∈[0，1]，不等式组 F(2kx- x 2 )＜F(k-4) F( x 2 -kx)＜F(k-3) 均成立，（1）求证：函数F（x）在R上为减函数（2）求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）设x 1 ＜x 2 ，则x 2 -x 1 ＞0∴F（x 2 -x 1 ）＜0                                      …（1分） ∴F（x 2 ）=F（x 2 -x 1 ）+F（x 1 ）＜F（x 1 ）∴函数F（x）在R上为减函数                            …（4分） （2）∵函数F（x）在R上为减函数∴ 2kx- x 2 ＞k-4 x 2 -kx＞k-3 对x∈[0，1]成立，…（6分） 依题有 f(x)= x 2 -2kx+k-4＜0 g(x)= x 2 -kx-k+3＞0 对x∈[0，1] 成立 由于f（x）＜0对x∈[0，1]成立∴ f(0)＜0 f(1)＜0 ∴-3＜k＜4 ①…（10分） 由于g（x）＞0对x∈[0，1]成立∴ k＜ x 2 +3 x+1 = (x+1) 2 -2(x+1)+4 x+1 ∴ k＜(x+1)+ 4 x+1 -2 恒成立∴k＜2②…（14分） 综上由①、②得-3＜k＜2…（16分）