已知各项均为正数的两个无穷数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．（Ⅰ）当数列{an}是常数
已知各项均为正数的两个无穷数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．（Ⅰ）当数列{an}是常数列（各项都相等的数列），且b1=12时...
已知各项均为正数的两个无穷数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．（Ⅰ）当数列{an}是常数列（各项都相等的数列），且b1=12时，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）设{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{an}有无穷多个，而数列{bn}惟一确定；（Ⅲ）设an+1=2an2+anan+1(n∈N*)，Sn=2ni＝1bi，求证：2＜Snn2＜6．
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（I）解：设an=a＞0，∵数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*），
∴bn+1+bn=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，bn+bn-1=2（n-1）．
∴bn+1-bn-1=2．
∴可知：数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，
又b1＝
，b1+b2=2，可得b2＝
．
∴b2n?1＝
+(n?1)?2=(2n?1)?
，b2n＝
+(n?1)?2=2n?
，
即bn＝n?
（n∈N*）．
（2）证明：设{an}、{bn}公差分别为d1、d2，
则an=a1+（n-1）d，bn=b1+（n-1）d2，
代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．
可得[a1+（n-1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n-1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，
可得
，解得
∴bn+1+bn=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，bn+bn-1=2（n-1）．
∴bn+1-bn-1=2．
∴可知：数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，
又b1＝
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| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴b2n?1＝
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| 2 |
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| 3 |
| 2 |
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即bn＝n?
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| 2 |
（2）证明：设{an}、{bn}公差分别为d1、d2，
则an=a1+（n-1）d，bn=b1+（n-1）d2，
代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．
可得[a1+（n-1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n-1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，
可得
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