Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒3cm的速度

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒3cm的速度移动，点Q从点C开始沿CD边向点D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为t秒．（1）求证：当t=32时，四边形APQD是平行四边形；（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵

12

3

＜

6

1

，
∴当t=4秒时，两点停止运动，在运动过程中AP=3t，CQ=t，
∴BP=12-3t，DQ=6-t，
当t=

3

2

时，DQ=6-

3

2

=

9

2

，AP=3×

3

2

=

9

2

，
∴AP=DQ，
又∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AP∥DQ，
∴四边形APQD为平行四边形；

（2）能，当t=3秒时，PQ平分对角线BD．
连接BD交PQ于点E，若PQ平分对角线BD，则DE=BE，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△DEQ和△BEP中，

∠3＝∠4 ∠1＝∠2 DE＝BE

，
∴△DEQ≌△BEP（AAS），
∴DQ=BP，
即四边形DPBQ为平行四边形，
∴6-t=12-3t，
解得t=3，符合题意，
∴当t=3秒时，PQ平分对角线BD．