Question

（2011?娄底模拟）如图，已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，⊙M是△ABC的

（2011?娄底模拟）如图，已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，⊙M是△ABC的外接圆．（1）求阴影部分扇形AMC的面积；（2）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ=K．①设△OPQ的面积为S，求S关于K的函数关系式，并求出S的最大值；②△CMQ能否与△AOC相似？若能，求出K的值；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=x²-2x-3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴A点（-1，0），B点（3，0），
∴OB=3，OA=1，
令x=0，则y=-3，
∴C点（0，-3），
∴OC=3，
∴OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
∴∠M=90°，
在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

＝

10

，
在Rt△AMC中，AM²+MC²=AC²，AM=BM，
∴AM=

5

，
∴S_扇形AMC=

90×π( 5 )2

360

＝

5π

4

，
答：阴影部分扇形AMC的面积是

5π

4

．

（2）①∵PQ⊥AB，∠PBQ=45°，
∴∠PBQ=∠PQB=45°，
∴PB=PQ=K，
∴OP=OB-BP=3-k，
∴s=

1

2

?OP?PQ=

1

2

k（3-k）=-

1

2

k²+

3

2

k=?

1

2

(k?

3

2

)2+

9

8

，
∴s的最大值是

9

8

，
答：设△OPQ的面积为S，S关于k的函数关系式是s=-

1

2

k²+

3

2

k，S的最大值是

9

8

．

②当A、M、