Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0），（1）若x=0为函数的一个极值点，且f（x）在区间（-6，-4）

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0），（1）若x=0为函数的一个极值点，且f（x）在区间（-6，-4），（-2，0）上单调且单调性相反，求ba的取值范围．（2）当b=3a，且-2是f（x）=ax3+3ax2+d的一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）因为f（x）=ax³+bx²+cx+d，
所以f'（x）=3ax²+2bx+c．
又f（x）在x=0处有极值，
所以f'（0）=0即c=0，
所以f'（x）=3ax²+2bx．
令f'（x）=0，所以x=0或x＝?

2b

3a

．
又因为f（x）在区间（-6，-4），（-2，0）上单调且单调性相反，
所以?4≤?

2b

3a

≤?2所以3≤

b

a

≤6．（5分）
（2）因为b=3a，且-2是f（x）=ax³+3ax²+d的一个零点，
所以f（-2）=-8a+12a+d=0，
所以d=-4a，从而f（x）=ax³+3ax²-4a，
所以f'（x）=3ax²+6ax，令f'（x）=0，所以x=0或x=-2．（7分）
列表讨论如下：

x	-3	（-3，-2）		-2[	（-2，0）		0	（0，2）		2
		a＞0	a＜0	a＞0	a＜0	a＞0	a＜0
f'（x）		+	-	0	-	+	0	+	-
f（x）	-4a	↗	↘	0	↘	↗	-4a	↗	↘	16a

所以当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a．
当a＜0时，若-3≤x≤2，则16a≤f（x）≤-4a．
从而

a＞0 16a≤2 ?4a≥?3

或

a＜0 16a≥?3 ?4a≤2

，即0＜a≤

1

8

或?

3

16

≤a＜0
所以存在实数a∈[?

3

16

，0)∪(0，

1

8

]，满足题目要求． （13分）