Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD．（1）若△ADC的周长为16，AB=12，求△ABC

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD．（1）若△ADC的周长为16，AB=12，求△ABC的周长；（2）若AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠DAB=2：5，求∠ADC的度数．

Answer 1

（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
又∵△ADC的周长为16，
∴AD+CD+AC=16，
即BD+CD+AC=BC+AC=16，又AB=12，
∴AB+BC+AC=16+12=28，
则△ABC的周长为28；

（2）∵AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD，
∵∠CAD：∠DAB=2：5，
设一份为x，即∠CAD=2x，∠DAB=∠ABD=5x，
又∠C=90°，
∴∠ABD+∠BAC=90°，即2x+5x+5x=90°，
解得：x=7.5°，
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADC=∠DAB+∠ABD=5x+5x=10x=75°．