Question

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1A的中点,(1)求证:BC1//平面CEF,(

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1A的中点,(1)求证:BC1//平面CEF,(2)在棱A1B1上是否存在点G,使得EG⊥CE?若存在,求A1G的长度,若不存在,说明理由

Answer 1

（1）取C1B1中点R，B1B中点K，连接RK，RK//BC1，RKEF是矩形，RK//EF，所以，BC1//EF，

所以，BC1//平面CEF。

（2）存在。取AD中点，连接EM，CM，MC²=DM²+DC²=1+1/4=5/4，

CE²=EM²+MC²=1+5/4=9/4，

设A1G=X，EG²=1/4+X²，在AB上取点N使AN=X，BN=AB-X=1-X，CN²=NB²+BC²=（1-X）²+1

GN=1，CG²=GN²+CN²=（1-X）²+1+1=1-2X+X²+2=X²-2X+3，

CG²=EG²+CE²，即，X²-2X+3=9/4+1/4+X²，2X=1/2，X=1/4，即，A1G=1/4。