Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，cosB= 1 3 ?点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC交 于点D

如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，cosB= 1 3 ?点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC交 于点D、E，且EF⊥AC，垂足为F，设OB=x，CF=y．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．

Answer 1

（1）证明：连接OE ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵OB=OE ∴∠B=∠BEO ∴∠C=∠BEO ∴AC ∥ OE ∵EF⊥CA ∴EF⊥OE 点E在⊙O上 直线EF是⊙O的切线； （2）过点A作AG⊥BC，垂足为G， ∴BG= 1 3 AB=2． ∵AB=AC， ∴BC=2BG=4． ∵OB=x， ∴BD=2x． ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB=90°． ∵cosB= 1 3 = BE BD ， ∵OB=x， ∴BD=2x， ∴BE= 2 3 x， ∴CE=BC-BE=4- 2 3 x． ∵△BDE ∽ △CEF， ∴ BD CE = BE CF ， ∴y=- 2 9 x+ 4 3 ．