Question

下列说法：①若f（x）=ax 2 +（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，+a+4]）是偶函数，则实数b=2；②f（x）=

下列说法：①若f（x）=ax 2 +（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，+a+4]）是偶函数，则实数b=2；②f（x）= 2009- x 2 + x 2 -2009 既是奇函数又是偶函数；③已知f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈[0，+∞]时，f（x）=x（1+x），则当x∈R时，f（x）=x（1+|x|）；④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x?y）=x?f（y）+y?f（x），则f（x）是奇函数．其中所有正确命题的序号是 ______．

Answer 1

①∵f（x）=ax 2 +（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数， 则2a-1+a+4=0得a=-1，又∵f（-x）=f（x）可解得b=2；故①正确． ②将函数化简得：f（x）=0，x∈R，∴既是奇函数又是偶函数；故②正确． ③设x＜0，由-x＞0，又∵当x∈[0，+∞]时，f（x）=x（1+x） ∴f（-x）=-x（1-x）， 又∵f（x）是定义在R上的奇函数 f（x）=-f（-x）=x（1-x） ∴当x∈R时，f（x）=x（1+|x|）；故③正确． ④令x=y=0，得f（0）=0 再令x=1，y=-1，得f（-1）=f（-1）-f（1） ∴f（1）=0 再令x=y=-1，得f（1）=-f（1）-f（-1） ∴f（-1）=0 再令y=-1 得f（-x）=xf（-1）-f（x） 则，f（-x）=-f（x） ∴f（x）是奇函数．故④正确． 故答案为：①②③④