Question

经过椭圆 x 2 2 +y 2 =1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标

经过椭圆 x 2 2 +y 2 =1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则 OA ? OB 等于（　　） A．-3 B．- 1 3 C．- 1 3 或-3 D．± 1 3

Answer 1

由 x 2 2 +y 2 =1，得a 2 =2，b 2 =1，c 2 =a 2 -b 2 =1，焦点为（±1，0）． 直线l不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y=x-1． 代入 x 2 2 +y 2 =1得x 2 +2（x-1） 2 -2=0， 即3x 2 -4x=0．设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 则x 1 ?x 2 =0，x 1 +x 2 = 4 3 ，y 1 y 2 =（x 1 -1）（x 2 -1）=x 1 x 2 -（x 1 +x 2 ）+1=1- 4 3 =- 1 3 ， OA ? OB =x 1 x 2 +y 1 y 2 =0- 1 3 =- 1 3 ． 故选B