Question

设函数f（x）在[0，2]上连续，且∫20f（x）dx=0，∫20xf（x）dx=a＞0．证明：?ξ∈[0，2]，使|f（ξ）|≥

设函数f（x）在[0，2]上连续，且∫20f（x）dx=0，∫20xf（x）dx=a＞0．证明：?ξ∈[0，2]，使|f（ξ）|≥a．

Answer 1

因为f（x）在[0，2]上连续，所以|f（x）|在[0，2]上连续，
从而：?ξ∈[0，2]，使得：|f（ξ）|=max|f（x）|（0≤x≤2），
则：|f（ξ）|≥|f（x）|，
所以a=|

∫

2 0

(x-1)f(x)dx|≤

∫

2 0

|x-1||f(x)|dx≤|f(ξ)|

∫

2 0

|x-1|dx=|f(ξ)|．
即：|f（ξ）|≥a，证毕．