Question

设函数f（x）在[0，+∞）可导，f（0）=0，且存在反函数，其反函数为g（x）．若∫f(x)0g(t)dt+∫x0f(t)dt=

设函数f（x）在[0，+∞）可导，f（0）=0，且存在反函数，其反函数为g（x）．若∫f(x)0g(t)dt+∫x0f(t)dt=xex-ex+1，求f（x）．

Answer 1

已知

∫

f(x) 0

g(t)dt+

∫

x 0

f(t)dt=xe^x-e^x+1，①
利用积分上限函数的求导公式，①式两边对x求导可得：
g（f（x））f′（x）+f（x）=xe^x．②
因为f（x）的反函数为g（x），
所以g（f（x））=x，?x＞0，
代入②可得：
xf′（x）+f（x）=xe^x．
即：f（x）+

f(x)

x

=e^x．③
由一阶线性微分方程的求解公式可得，方程③的通解为：
f（x）=e∫?

1

x

dx(∫exe∫

1

x

dxdx+C)
=

1

x

(∫xexdx+C)
=

1

x

((x?1)ex+C)．
因为f（x）在[0，+∞）可导，
所以f（x）在x=0处连续，
从而由 0=f（0）=

lim

x→0

1

x

((x?1)ex+C)可得，C=1．
故f（x）=

1 x ((x?1)ex+1)， x＞0 0，  x＝0

．