Question

如图，已知平面α∥β∥γ，直线a，b分别交α，β，γ于点A，B，C和D，E，F，（1）求证：ABBC＝DEEF；（2

如图，已知平面α∥β∥γ，直线a，b分别交α，β，γ于点A，B，C和D，E，F，（1）求证：ABBC＝DEEF；（2）若AB=1，BC=2，AD=3，CF=6，当AD与CF所成的角为600时，求BE的长．

Answer 1

解：（1）连接AF，交β于点G，则点A，B，C，G共面，
∵β∥α，面ACF∩β=BG，面ACF∩γ=CF，
∴BG∥CF，∴△ABG∽△ACF，
∴

AB

BC

＝

AG

GF

，
同理，有AD∥GE，

AG

GF

＝

DE

EF

，
∴

AB

BC

＝

DE

EF

．
（2）∵α∥β∥γ，AD?α，CF?γ，
且AD与CF所成的角为60⁰，
∴AD与CF是异面直线．
连接BG，EG，
∵AB=1，BC=2，CF=6，

AB

AC

＝

BG

CF

，∴BG=2，
∵

AB

AC

＝

AG

CF

＝

GE

AD

，AD=3，∴GE=2，
∵AD与CF所成的角为60°，∴∠BGE=60°或∠BGE=120°，
当∠BGE=60°时，△BGE为等边三角形，此时BE=2，
当∠BGE=120°时，BE²=BG²+GE²-2BG?GE?cos120°=12，
此时BE＝2

3

，综上所述，
BE=2或BE=2

3

．