Question

已知函数f（x）=13x3+12ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（-1，0），x2∈（0，1）

已知函数f（x）=13x3+12ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（-1，0），x2∈（0，1），则a+2b+4a+2的取值范围是（　　）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3]D．[1，3]

Answer 1

解：∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+b
∵函数f（x）在区间（-1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得极小值，
∴f′（x）=x²+ax+b=0在（-1，0）和（0，1）内各有一个根，
f′（0）＜0，f′（-1）＞0，f′（1）＞0
即

b＜0 1?a+b＞0 1+a+b＞0

，
在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，
∵A（0，-1），B（1，0），C（-1，0），
∴把A（0，-1）代入

a+2b+4

a+2

，得到：

0?2+4

0+2

=1；
把B（1，0）代入

a+2b+4

a+2

，得到：

1+0+4

1+2

=

5

3

；
把C（-1，0）代入

a+2b+4

a+2

，得到：

?1+0+4

?1+2

=3．
∴

a+2b+4

a+2

的取值范围是（1，3）．
故选B．