Question

已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，PD=2，E，F分别是PA、BC的中点（1）求证：EF∥平

已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，PD=2，E，F分别是PA、BC的中点（1）求证：EF∥平面PDC；（2）求证：DE⊥PB．

Answer 1

（1）取PD中点G，连接EG、FG
∵EG是△PAD的中位线，∴EG∥AD且EG=

1

2

AD
又∵正方形ABCD中，F为CD中点，可得FC∥AD且FC=

1

2

AD
∴EG∥FC且EG=FC，可得四边形CFEG是平行四边形
∴EF∥CG，
∵EF?平面PDC，CG?平面PDC，∴EF∥平面PDC；
（2）∵PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，
∵AD⊥AB，AD、PD是平面PAD内的相交直线
∴AB⊥平面PAD，结合DE?平面PAD，可得DE⊥AB
∵△PAD中，PD⊥AD，PD=AD=2，E为PA中点，∴DE⊥PA
∵PA、AB是平面PAB内的相交直线，
∴DE⊥平面PAB，结合PB?平面PAB，可得DE⊥PB．