Question

若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）（1，2）内各有一个零点，则a2+（b-2）2范围（　　）A．(5 ， 10)B

若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）（1，2）内各有一个零点，则a2+（b-2）2范围（　　）A．(5 ， 10)B．（5，10）C．（0，5）D．（0，10）

Answer 1

∵函数f（x）=x²+ax+2b在区间（0，1）（1，2）内各有一个零点，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

f(0)＝2b＞0 f(1)＝1+a+2b＜0 f(2)＝4+2a+2b＞0

，
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），
设P（0，2），则a²+（b-2）²的几何意义表示为阴影部分内的动点到定点P距离的平方．
由图象可知当AP的距离最大，CP的距离最小．
由

1+a+2b＝0 4+2a+2b＝0

，解得

a＝?3 b＝1

，即A（-3，1），此时|AP|=

(?3)2+(1?2)2

＝

10

，
|CP|=

(?1)2+(0?2)2

＝

5

，
∴|AP|²=10，|CP|²=5，
即5＜a²+（b-2）²＜10，
故选B．