Question

如图1，正方形ABCD的边长为4，点P为边AD上的一个动点，以BP为直径作半圆，圆心为点O，过点O作OF∥AD，交C

如图1，正方形ABCD的边长为4，点P为边AD上的一个动点，以BP为直径作半圆，圆心为点O，过点O作OF∥AD，交CD于点F，交半圆O于点E．（1）如图2，当点P与点D重合时，求EF的长．（2）当AP为何值时，半圆O会与CD相切？

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形，且该正方形的边长是4，则对角线BD=4

2

．
（1）如图2，当P和D重合时，BD就是直径．
∴BO=OD，OF∥AD∥BC
∴OF=

1

2

BC=2．
∵OE=

1

2

BD=2

2

，
∴EF=OE-OF=2（

2

-1）；

（2）如图3，当半圆O与CD相切时，E点和F点重合．
设AP=a，则PD=4-a．
∵点O是PB的中点，OE∥BC∥AD，
∴在梯形PDCB中，OE=

PD+BC

2

=

4?a+4

2

．
在直角△ABP中，根据勾股定理得到BP=

AB2+AP2

=

16+a2

．
∴

1

2

16+a2

=

4?a+4

2

解得，a=3．
因此，当AP=3时，半圆O会和CD相切．