Question

已知函数f（x）=ax-lnx．（a为常数）（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；（2）求函数f（x）在[1，+∞）上

已知函数f（x）=ax-lnx．（a为常数）（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；（2）求函数f（x）在[1，+∞）上的最值；（3）试证明对任意的n∈N*都有ln(1+1n)n＜1．

Answer 1

（1）当a=1时，函数f（x）=x-lnx，，x∈（0，+∞）
∵f′(x)＝1?

1

x

，令f'（x）=0得x=（12分）
∵当x∈（0，1）时，f'（x）＜0∴函数f（x）在（0，1）上为减函数
∵当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数
∴当x=1时，函数f（x）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=1（4分）
（2）∵f′(x)＝a?

1

x

，
若a≤0，则对任意的x∈[1，+∞）都有f'（x）＜0，∴函数f（x）在[1，+∞）上为减函数
∴函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，没有最小值，f（x）_最大值=f（1）=a；（6分）
若a＞0，令f'（x）=0得x＝

1

a

当0＜a＜1时，

1

a

＞1，当x∈(1，

1

a

)时f'（x）＜0，函数f（x）在(1，

1

a

)上为减函数
当x∈(

1

a

，+∞)时f'（x）＞0∴函数f（x）在(

1

a

，+∞)上为增函数
∴当x＝

1

a

时，函数f（x）有最小值，f(x)最小值＝f(

1

a

)＝1?ln

1

a

（8分）
当a≥1时，

1

a

≤1在[1，+∞）恒有f'（x）≥0
∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=a．（9分）
综上得：当a≤0时，函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，f（x）_最大值=a；
当0＜a＜1时，函数f（x）有最小值，f(x)最小值＝1?ln

1

a

；
当a≥1时，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=a．（10分）
（3）证明：由（1）知函数f（x）=x-lnx在（0，+∞）上有最小值1
即对任意的x∈（0，+∞）都有x-lnx≥1，即x-1≥lnx，（12分）
当且仅当x=1时“=”成立
∵n∈N^*∴

n+1

n

＞0且

n+1

n

≠1
∴

n+1

n

?1＞ln

n+1

n

?

1

n

＞ln

n+1

n

?1＞nln(1+

1

n

)?1＞ln(1+

1

n

)n
∴对任意的n∈N^*都有ln(1+

1

n

)n＜1．（14分）