Question

关于x的一元二次方程x2-3（m+1）x+3m+2=0．（1）求证：无论m为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数

关于x的一元二次方程x2-3（m+1）x+3m+2=0．（1）求证：无论m为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数y=x2-3（m+1）x+3m+2与x轴有且只有一个交点，求m的值；（3）在（2）的条件下，将函数y=x2-3（m+1）x+3m+2的图象沿直线x=2翻折，得到新的函数图象G．在x，y轴上分别有点P（t，0），Q（0，2t），其中t＞0，当线段PQ与函数图象G只有一个公共点时，求t的值．

Answer 1

（1）解方程x²-3（m+1）x+3m+2=0，得x₁=1，x₁=3m+2，
∵x₁=1＞0
∴无论m为何值时，方程总有一个根大于0；  
（2）∵若函数y=x²-3（m+1）x+3m+2与x轴有且只有一个交点，
∴△=9（m+1）²-4（3m+2）=0，
∴m=-

1

3

，
（3）当m＝?

1

3

时，函数y=x²-2x+1=（x-1）²，
依题意，沿直线x=2翻折后的解析式为：y=（x-3）²=x²-6x+9，
可得，y=（x-3）²=x²-6x+9与x，y轴的交点分别为（3，0），（0，9）．
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
由P（t，0），Q（0，2t）．
∴直线PQ的解析式为y=-2x+2t，
①当线段PQ与函数图象相切时，-2x+2t=x²-6x+9△=16-4（9-2t）=0
∴t＝

5

2

②当线段PQ经过点（0，9）时，2t=9
∴t＝

9

2

综上：当t＝

5

2

或t＝

9

2

时，线段PQ与函数图象G只有一个公共点．