Question

【矩阵】设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则下列选项正确的是？

A，当m＞n时，必有丨AB丨≠0
B，当m＞n时，必有丨AB丨=0

C，当n＞m时，必有丨AB丨≠0
D，当n＞m时，必有丨AB丨=0

答案是B，求原因及步骤

Answer 1

B，当m＞n时，必有丨AB丨=0

因为当m＞n时，AB是一个m阶方阵。
而一个矩阵的秩不超过他的行数，也不超过他的列数。矩阵的乘积的秩不超过每一个因子的秩。
所以
R(AB)<=R(A)<=n<m
方阵的秩小于其阶数，故行列式为0.