Question

已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且y=f(x)/x在(0，+∞)上为增函数.

已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且y=f(x)/x在(0，+∞)上为增函数.(1)求证:∨x1，x2∈(0，∞),f(xl)+f(x2)<f(xl+x2)。(2)若f(x)有零点，求证:f(x)>20l4有解。

Answer 1

1. 设 x1，x2>0，则 x1<x1+x2，x2<x1+x2
于是 f(x1)/x1 <f(x1+x2)/(x1+x2) ，
f(x2)/x2<f(x1+x2)/(x1+x2)
即 (x1+x2)·f(x1)< x1·f(x1+x2)
(x1+x2)·f(x2)<x2·f(x1+x2)
两式相加，并约去x1+x2，得
f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)。
2. 令g(x)=f(x)/x，x>0
由f(x)=g(x)·x，由于x>0，从而 f(x)的零点也是g(x)的零点。
设 g(a)=0，则 当常数b>a时，有g(b)>g(a)=0。
由于g(b)>0，故存在正数k，使 k·g(b)=2014.
（1）若 k<b，则 当 x>b时，有
g(x)>g(b)，所以
g(x)·x>b·g(b)>k·g(b)=2014
即 f(x)>2014;
（2）若 k≥b，则当x>k时，
有 g(x)>g(k)≥g(b)
从而 g(x)·x>g(k)·k≥g(b)·k=2014
即 f(x)>2014
于是，由（1）（2）得，f(x)>2014有解。