Question

如图1，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式

如图1，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）连结CA，CB，对称轴x=1与线段AB交于点D，求△CAB的铅垂高CD及S △CAB ；（3）如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，是否存在一点P，使S △PAB = 9 8 S △CAB ？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线的顶点为（1，4）， 设抛物线的解析式为y=a（x-1） 2 +4， 把点A（3，0）代入得：0=a（3-1） 2 +4， 解得：a=-1， ∴抛物线的解析式为：y=-（x-1） 2 +4， 即y=-x 2 +2x+3， 当x=0时，y=3， ∴点B的坐标为（0，3）， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 把点（3，0），B（0，3）代入得， 0=3k+b 3=b ， 解得 k=-1 b=3 ， ∴直线的解析式为：y=-x+3； （2）把x=1代入y=-x+3得：y=2， 则CD=4-2=2， 设对称轴x=1与x轴交于点H， S △CAB = 1 2 CD?OH+ 1 2 CD?HA= 1 2 CD?OA= 1 2 ×2×3=3； （3）过点P作PE⊥x轴交线段AB于点F， 设点P（x，-x 2 +2x+3），则点F（x，-x+3），PF=-x 2 +2x+3-（-x+3）=-x 2 +3x， S △PAB = 1 2 PF?OA= 1 2 ×3（-x 2 +3x）=- 3 2 x 2 + 9 2 x（0＜x＜3）， 要使S △PAB = 9 8 S △CAB ， 则有- 3 2 x 2 + 9 2 x= 9 8 ×3，即4x 2 -12x+9=0， 解得：x 1 =x 2 = 3 2 ， 当x= 3 2 时，y=-x 2 +2x+3= 15 4 ， ∴点P的坐标为（ 3 2 ， 15 4 ）．