Question

（2013年四川攀枝花12分）如图，抛物线y=ax 2 +bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）． （1）

（2013年四川攀枝花12分）如图，抛物线y=ax 2 +bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由于抛物线y=ax 2 +bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）， 将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=5，解得 a=1。 ∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x﹣1），即y=x 2 +2x﹣3。 （2）如图1，过点P作x轴的垂线，交AC于点N． 设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得 ，解得 。 ∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3。 设P点坐标为（x，x 2 +2x﹣3）， 则点N的坐标为（x，﹣x﹣3）， ∴PN=PE﹣NE=﹣（x 2 +2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x 2 ﹣3x。 ∵S △ PAC =S △ PAN +S △ PCN ， ∴ 。 ∴当x= 时，S有最大值 ，此时点P的坐标为（ ， ）。 （3）在y轴上是否存在点M，能够使得△ADE是直角三角形。理由如下： ∵y=x 2 +2x﹣3=y=（x+1） 2 ﹣4，∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）。 ∵A（﹣3，0），∴AD 2 =（﹣1+3） 2 +（﹣4﹣0） 2 =20。 设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论： ①当A为直角顶点时，如图2， 由勾股定理，得AM 2 +AD 2 =DM 2 ， 即（0+3） 2 +（t﹣0） 2 +20=（0+1） 2 +（t+4） 2 ，解得t= 。 ∴点M的坐标为（0， ）。 ②当D为直角顶点时，如图3， 由勾股定理，得DM 2 +AD 2 =AM 2 ， 即（0+1） 2 +（t+4） 2 +20=（0+3） 2 +（t﹣0） 2 ，解得t= 。 ∴点M的坐标为（0， ）。 ③当M为直角顶点时，如图4， 由勾股定理，得AM 2 +DM 2 =AD 2 ， 即（0+3） 2 +（t﹣0） 2 +（0+1） 2 +（t+4） 2 =20，解得t=﹣1或﹣3。 ∴点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）。 综上所述，在y轴上存在点M，能够使得△ADE是直角三角形，此时点M的坐标为（0， ）或（0， ）或（0，﹣1）或（0，﹣3）。

（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式。 （2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x 2 +2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S △ PAC =S △ PAN +S △ PCN 就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论。 （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可。