(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax 2 +bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3). (1)

(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第三象限内抛物线上... (2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax 2 +bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3). (1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 展开
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狐妖陌陌泡泡兔2119
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解:(1)由于抛物线y=ax 2 +bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),可设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),
将C点坐标(0,﹣3)代入,得:a(0+3)(0﹣1)=5,解得 a=1。
∴抛物线的解析式为:y=(x+3)(x﹣1),即y=x 2 +2x﹣3。
(2)如图1,过点P作x轴的垂线,交AC于点N.

设直线AC的解析式为y=kx+m,由题意,得 ,解得
∴直线AC的解析式为:y=﹣x﹣3。
设P点坐标为(x,x 2 +2x﹣3),
则点N的坐标为(x,﹣x﹣3),
∴PN=PE﹣NE=﹣(x 2 +2x﹣3)+(﹣x﹣3)=﹣x 2 ﹣3x。
∵S PAC =S PAN +S PCN

∴当x= 时,S有最大值 ,此时点P的坐标为( )。
(3)在y轴上是否存在点M,能够使得△ADE是直角三角形。理由如下:
∵y=x 2 +2x﹣3=y=(x+1) 2 ﹣4,∴顶点D的坐标为(﹣1,﹣4)。
∵A(﹣3,0),∴AD 2 =(﹣1+3) 2 +(﹣4﹣0) 2 =20。
设点M的坐标为(0,t),分三种情况进行讨论:
①当A为直角顶点时,如图2,

由勾股定理,得AM 2 +AD 2 =DM 2
即(0+3) 2 +(t﹣0) 2 +20=(0+1) 2 +(t+4) 2 ,解得t=
∴点M的坐标为(0, )。
②当D为直角顶点时,如图3,

由勾股定理,得DM 2 +AD 2 =AM 2
即(0+1) 2 +(t+4) 2 +20=(0+3) 2 +(t﹣0) 2 ,解得t=
∴点M的坐标为(0, )。
③当M为直角顶点时,如图4,

由勾股定理,得AM 2 +DM 2 =AD 2
即(0+3) 2 +(t﹣0) 2 +(0+1) 2 +(t+4) 2 =20,解得t=﹣1或﹣3。
∴点M的坐标为(0,﹣1)或(0,﹣3)。
综上所述,在y轴上存在点M,能够使得△ADE是直角三角形,此时点M的坐标为(0, )或(0, )或(0,﹣1)或(0,﹣3)。

(1)已知抛物线上的三点坐标,利用待定系数法可求出该二次函数的解析式。
(2)过点P作x轴的垂线,交AC于点N,先运用待定系数法求出直线AC的解析式,设P点坐标为(x,x 2 +2x﹣3),根据AC的解析式表示出点N的坐标,再根据S PAC =S PAN +S PCN 就可以表示出△PAC的面积,运用顶点式就可以求出结论。
(3)分三种情况进行讨论:①以A为直角顶点;②以D为直角顶点;③以M为直角顶点;设点M的坐标为(0,t),根据勾股定理列出方程,求出t的值即可。
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