(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax 2 +bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3). (1)
(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第三象限内抛物线上...
(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax 2 +bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3). (1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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狐妖陌陌泡泡兔2119
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解:(1)由于抛物线y=ax 2 +bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),可设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x﹣1), 将C点坐标(0,﹣3)代入,得:a(0+3)(0﹣1)=5,解得 a=1。 ∴抛物线的解析式为:y=(x+3)(x﹣1),即y=x 2 +2x﹣3。 (2)如图1,过点P作x轴的垂线,交AC于点N. 设直线AC的解析式为y=kx+m,由题意,得 ,解得 。 ∴直线AC的解析式为:y=﹣x﹣3。 设P点坐标为(x,x 2 +2x﹣3), 则点N的坐标为(x,﹣x﹣3), ∴PN=PE﹣NE=﹣(x 2 +2x﹣3)+(﹣x﹣3)=﹣x 2 ﹣3x。 ∵S △ PAC =S △ PAN +S △ PCN , ∴ 。 ∴当x= 时,S有最大值 ,此时点P的坐标为( , )。 (3)在y轴上是否存在点M,能够使得△ADE是直角三角形。理由如下: ∵y=x 2 +2x﹣3=y=(x+1) 2 ﹣4,∴顶点D的坐标为(﹣1,﹣4)。 ∵A(﹣3,0),∴AD 2 =(﹣1+3) 2 +(﹣4﹣0) 2 =20。 设点M的坐标为(0,t),分三种情况进行讨论: ①当A为直角顶点时,如图2, 由勾股定理,得AM 2 +AD 2 =DM 2 , 即(0+3) 2 +(t﹣0) 2 +20=(0+1) 2 +(t+4) 2 ,解得t= 。 ∴点M的坐标为(0, )。 ②当D为直角顶点时,如图3, 由勾股定理,得DM 2 +AD 2 =AM 2 , 即(0+1) 2 +(t+4) 2 +20=(0+3) 2 +(t﹣0) 2 ,解得t= 。 ∴点M的坐标为(0, )。 ③当M为直角顶点时,如图4, 由勾股定理,得AM 2 +DM 2 =AD 2 , 即(0+3) 2 +(t﹣0) 2 +(0+1) 2 +(t+4) 2 =20,解得t=﹣1或﹣3。 ∴点M的坐标为(0,﹣1)或(0,﹣3)。 综上所述,在y轴上存在点M,能够使得△ADE是直角三角形,此时点M的坐标为(0, )或(0, )或(0,﹣1)或(0,﹣3)。 |
(1)已知抛物线上的三点坐标,利用待定系数法可求出该二次函数的解析式。 (2)过点P作x轴的垂线,交AC于点N,先运用待定系数法求出直线AC的解析式,设P点坐标为(x,x 2 +2x﹣3),根据AC的解析式表示出点N的坐标,再根据S △ PAC =S △ PAN +S △ PCN 就可以表示出△PAC的面积,运用顶点式就可以求出结论。 (3)分三种情况进行讨论:①以A为直角顶点;②以D为直角顶点;③以M为直角顶点;设点M的坐标为(0,t),根据勾股定理列出方程,求出t的值即可。 |
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