Question

已知动双曲线的右顶点在抛物线y 2 =x-1上，实轴长为定值4，右准线恰为y轴．（Ⅰ）求动双曲线中心的轨迹方

已知动双曲线的右顶点在抛物线y 2 =x-1上，实轴长为定值4，右准线恰为y轴．（Ⅰ）求动双曲线中心的轨迹方程；（Ⅱ）求虚半轴长的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）：设双曲线的中心为（x，y），由于右准线为y轴，故x＜0． ∵实轴长为4，故a=2． ∴双曲线的右顶点为（x+2，y）． 由题意知点（x+2，y）在抛物线y 2 =x-1上， ∴y 2 =（x+2）-1=x+1． ∴双曲线中心的轨迹方程为y 2 =x+1（-1≤x＜0）．…（6分） （Ⅱ）：设双曲线方程为 (x- x 0 ) 2 a 2 - (y- y 0 ) 2 b 2 =1(a＞0，b＞0) ． ∵a=2，故 c= a 2 + b 2 ． 由 x- x 0 = a 2 c ，得右准线为 x= x 0 + a 2 c ． 而右准线方程为x=0， ∴ x 0 + a 2 c =0 ． ∴ x 0 =- a 2 c =- 4 4+ b 2 ． 由（Ⅰ）知 y 20 = x 0 +1 ， 故 y 20 =- 4 4+ b 2 +1≥0 ． 化简得b 2 ≥12，故 b≥2 3 ． ∴虚半轴长的取值范围是 [2 3 ，+∞) ．…（14分）