Question

(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.求证：CE＝CF； (2)如图2，在正

(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.求证：CE＝CF； (2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD；(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，(BC>AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．

Answer 1

(1) (2)见解析        (3)108

(1)证明：∵四边形是ABCD正方形， ∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°， ∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)． ∴CE＝CF. (2)证明：如图①，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF. 由(1)知△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF. ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD， 即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°， ∴∠GCF＝∠GCE＝45°. ∵CE＝CF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG. ∴GE＝GF， ∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD. (3)解：如图②，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G. 在直角梯形ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠A＝∠B＝90°， 又∵∠CGA＝90°，AB＝BC， ∴四边形ABCG为正方形． ∴AG＝BC. ∵∠DCE＝45°， 根据(1)(2)可知，ED＝BE＋DG. ∴10＝4＋DG，即DG＝6. 设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6， 在Rt△AED中， ∵DE 2 ＝AD 2 ＋AE 2 ， 即10 2 ＝(x－6) 2 ＋(x－4) 2 . 解这个方程，得：x＝12或x＝－2(舍去)． ∴AB＝12. ∴S 梯形ABCD ＝  (AD＋BC)·AB ＝ ×(6＋12)×12＝108. 即梯形ABCD的面积为108.