Question

如图，直角梯形ABCD中，AB ∥ CD，∠BCD=90°，BC=CD= 2 ，AD=BD：EC丄底面ABCD，FD丄底面

如图，直角梯形ABCD中，AB ∥ CD，∠BCD=90°，BC=CD= 2 ，AD=BD：EC丄底面ABCD，FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2．（I ）求证：AD丄BF；（II ）若线段EC的中点为M，求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值．

Answer 1

（I）∵BC⊥DC，BC=CD= 2 ， ∴BD= B C 2 +C D 2 =2，且△BCD是等腰直角三角形，∠CDB=∠CBD=45° ∵平面ABCD中，AB ∥ DC，∴∠DBA=∠CBD=45° ∵AD=BD，可得∠DBA=∠BAD=45° ∴∠ADB=90°，即AD⊥BD ∵FD丄底面ABCD，AD?底面ABCD，∴AD⊥DF ∵BD、DF是平面BDF内的相交直线，∴AD⊥平面BDF ∵BF?平面BDF，∴AD丄BF （II）如图，过点M作MN⊥BE，垂足为N，连接NA，AC ∵AB⊥BC，AB⊥EC，BC∩EC=E，∴AB⊥平面BEC ∵MN?平面BEC，∴AB⊥MN， 结合MN⊥BE且BE∩AB=B，可得MN⊥平面ABEF ∴AN是AM在平面ABEF内的射影，可得∠MAN就是直线AM与平面ABEF所成角 ∵Rt△ABC中，AC= A B 2 +B C 2 = 10 ，∴Rt△ACM中，AM= A C 2 +C M 2 = 11 ． ∵△EMN ∽ △EBC，∴ MN BC = EN EC MN BC = EM EB ，可得MN= 3 3 因此，在Rt△MAN中，sin∠MAN= MN  AM = 33 33 即直线AM与平面ABEF所成角的正弦值是 33 33 ．