Question

已知函数f（x）=log 4 （4 x +1）+kx（k∈R）是偶函数； (Ⅰ)证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直

已知函数f（x）=log 4 （4 x +1）+kx（k∈R）是偶函数； (Ⅰ)证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=- x+b最多只有一个交点； (Ⅱ)若方程f（x）=log 4 （a·2 x - a）有且只有一个解，求实数a的取值范围。

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Answer 1

解：（Ⅰ）由函数f（x）是偶函数可得：f（x）=-f（-x）， ∴ ， ∴ ， 即x=-2kx对一切x∈R恒成立， ∴ ， 由题意可知，只要证明函数 在定义域R上为单调函数即可， 任取 ， 则 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴函数 在R上为单调增函数， ∴对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线 最多只有一个交点。 （Ⅱ）若方程 有且只有一解， 也就是方程 有且只有一个实根， 令 ， 问题转化为方程： 有且只有一个正根， （1）若a=1，则 ，不合题意； （2）若a≠1时，由 或-3，当 时，t=-2不合题意； 当a=-3时， ； （3）若a≠1时，△＞0，若方程一个正根与一个负根时，则 ； 综上：实数a的取值范围是 。