Question

已知 A 是△ BCD 所在平面外的点，∠ BAC =∠ CAD =∠ DAB =60°， AB =3， AC = AD =2.（1）求证： AB

已知 A 是△ BCD 所在平面外的点，∠ BAC =∠ CAD =∠ DAB =60°， AB =3， AC = AD =2.（1）求证： AB ⊥ CD ； （2）求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值.

Answer 1

（1）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC≌△ABD，BC=BD.取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM. ∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD. （2）过A作 于O，∵CD⊥平面ABM，∴CD⊥AO，∴AO⊥面BCD， ∴BM是AB在面BCD内的射影，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角. 在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°， .  在△ACD中， AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM= . 在Rt△BCM中，BC= ，CM=1， .

略