Question

已知函数F（x）=1a?1x，x＞0，a＞0．（1）讨论f（x）在定义域上的单调性，并给予证明；（2）若f（x）在[m

已知函数F（x）=1a?1x，x＞0，a＞0．（1）讨论f（x）在定义域上的单调性，并给予证明；（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，（0＜m＜n），求a的取值范围和相应的m，n的值．

Answer 1

（1）f（x）在定义域上单调递增．证明如下
任取x₁＞x₂＞0，
则f(x1)?f(x2)＝(

1

a

?

1

x1

)?(

1

a

?

1

x2

)
=

1

x2

?

1

x1

＝

x1?x2

x1x2

．
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0．
∴

x1?x2

x1x2

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在定义域上单调递增．
（2）由（1）知f（x）在[m，n]上单调递增，
则f（x）在[m，n]上的值域是[f（m），f（n）]．
即f(m)＝

1

a

?

1

m

＝m，f(n)＝

1

a

?

1

n

＝n．
∴m，n为方程ax²-x+a=0的两实根，
∴△=1-4a²＞0，
∴?

1

2

＜a＜

1

2

，又a＞0，可得a∈(0，

1

2

)．
则m＝

1? 1?4a2

2a

，n＝

1+ 1?4a2

2a

．