Question

如图，已知AB是圆O的直径，∠DAB的平分线AC交圆O与点C，作CD⊥AD，垂足为点D，直线CD与AB的延长线交于点E

如图，已知AB是圆O的直径，∠DAB的平分线AC交圆O与点C，作CD⊥AD，垂足为点D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为圆O的切线．（2）当AB=2BE，DE=23时，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥CO，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是○O直径且C在半径外端，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：∵AB=2BO，AB=2BE，
∴BO=BE=CO，
即OC=

1

2

OE，
∵∠OCB=90°，
∴∠E=30°，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，DE=2

3

，
∴AD=DE×tan30°=2．