Question

（2012?泰安二模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，点E是棱PB的

（2012?泰安二模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，点E是棱PB的中点．（I）求证：平面ECD⊥平面PAD；（II）求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD
∵CD?平面ECD，
∴平面ECD⊥平面PAD；
（II）解：过点D作DF⊥CE，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．
∵AD⊥AB，AD⊥PA，AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AE，从而DE=

AE2+AD2

＝

2

在Rt△CBE中，CE=

BE2+BC2

=

2

，
∵CD=

2

，∴△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD?sin60°=

6

2

因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=

1

2

AE，
从而FG=

1

2

，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG=

1

2

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