Question

已知等差数列{an}的公差为-1，且a2+a7+a12=-6，（1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；（2）若{bn}是

已知等差数列{an}的公差为-1，且a2+a7+a12=-6，（1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；（2）若{bn}是首项为4，公比为12的等比数列，前n项和为Tn，求证：当t＞6时，对任意n，m∈N*，Sn＜Tm+t恒成立．

Answer 1

（本题满分14分）
解：（1）∵等差数列{a_n}的公差为-1，且a₂+a₇+a₁₂=-6，
∴3a₇=-6，解得a₇=-2，
∵a₇=a₁+6（-1）=-2，解得a₁=4，（3分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=5-n，（5分）
∴Sn＝

n(a1+an)

2

=

n(9?n)

2

．（7分）
（2）∵{b_n}是首项为4，公比为

1

2

的等比数列，前n项和为T_n，
∴T_n=

4[1?( 1 2 )n]

1? 1 2

=8[（1-（

1

2

）ⁿ]，T_m≥T₁=4，（9分）
又∵Sn＝

n(9?n)

2

=-

1

2

（n²-9n）=-

1

2

[（n-

9

2

）²-

81

4

]，
∴（S_n）_max=S₄=S₅=10，（11分）
当t＞6时，对任意m，n∈N^*，T_m+t＞T₁+6＞10≥S_n，
∴当t＞6时，对任意n，m∈N^*，S_n＜T_m+t恒成立．（14分）