Question

计算曲面积分∫∫S(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y2（0≤z≤1），其法向量与z轴正向的夹角为锐

计算曲面积分∫∫S(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y2（0≤z≤1），其法向量与z轴正向的夹角为锐角．

Answer 1

【解法1】
设S₁：

x2+y2≤1 z＝1

，方向与z轴负向．
设D为S₁在xOy上的投影，Ω为S+S₁所围成的区域．
则：
I=

?

S

(2x+z)dydz+zdxdy
=

?

S+S1

(2x+z)dydz+zdxdy-

?

S1

(2x+z)dydz+zdxdy．
利用高斯公式可得：
  

?

S+S1

(2x+z)dydz+zdxdy
=

?

Ω

(2+1)dxdydz
=3

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

rdr

∫

2 r2

[?(?π)]dz（利用柱面坐标系计算）
=?

3

2

π，
而：

?

S1

(2x+z)dydz+zdxdy=-

?

D

?dxdy=

?

D

dxdy=π，
所以：I=?

3

2

π+π=?

π

2

．

【解法2】
利用矢量投影法，
因为z′_x=2x，z′_y=2y，
所以：
I=

?

S

(2x+z)dydz+zdxdy
=

?

S

[(2x+z)?(?z′x)+z]dxdy
=

?

S

(?4x2?2xz+z)dxdy
=

?

D

[?4x2?2x(x2+y2)+x2+y2]dxdy
=

∫

2π 0

dθ 

∫

1 0

(?4r2cos2θ?2r3cosθ+r2)rdr
=-

π

2

．

【解法3】
利用直接投影法．
曲面S在yOz平面上的投影D_yz对应两个曲面：
一是x＝?

z?y2

，0≤z≤1，其方向指向前侧，因此积分取正号；
另一个是x＝

z?y2

，0≤z≤1，方向指向后侧，因此积分取负号．
再记D_xy表示S在xOy平面上的投影区域，则：
I=

?

S

(2x+z)dydz+zdxdy
=-

?

Dyz

(2

z?y2

+z)dydz+

?

Dyz

(?2

z?y2

+z)dydz+

?

Dxy

(x2+y2)dxdy
=-

?

Dyz

z?y2

dydz+

?

Dxy

(x2+y2)dxdy
=-4

∫

1 ?1

dy

∫

1 y2

z?y2

dz+

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

r2?rdr
=?

π

2

．

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

您好，答案如图所示：
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