(2014•孝感)如图1,矩形ABCD的边AD在y轴上,抛物线y=x2-4x+3经过点A、点B,与

(2014•孝感)如图1,矩形ABCD的边AD在y轴上,抛物线y=x2-4x+3经过点A、点B,与x轴交于点E、点F,且其顶点M在CD上.(1)请直接写出下列... (2014•孝感)如图1,矩形ABCD的边AD在y轴上,抛物线y=x2-4x+3经过点A、点B,与x轴交于点E、点F,且其顶点M在CD上.(1)请直接写出下列各点的坐标:A(0,3),B(4,3),C(4,-1),D(0,-1);(2)若点P是抛物线上一动点(点P不与点A、点B重合),过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G,与直线BD交于点H,如图2.①当线段PH=2GH时,求点P的坐标;②当点P在直线BD下方时,点K在直线BD上,且满足△KPH∽△AEF,求△KPH面积的最大值.

解:为什么当线段PH=2GH时分三种情况:1°当x≥1且x≠4时;2°当0<x<1时;3°当x<0时
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2015-03-23
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考点:

二次函数综合题.

分析:

(1)令x=0,得到点A的坐标,再根据点A的纵坐标得到点B的坐标,根据抛物线的顶点式和矩形的性质可得C.D的坐标;

(2)①根据待定系数法可得直线BD的解析式,设点P的坐标为(x,x2﹣4x+3),则点H(x,x﹣1),点G(x,3).分三种情况:1°当x≥1且x≠4时;2°当0<x<1时;3°当x<0时;三种情况讨论可得点P的坐标;

②根据相似三角形的性质可得 ,再根据二次函数的增减性可得△KPH面积的最大值.

解答:

解:(1)A(0,3),B(4,3),C(4,﹣1),D(0,﹣1).

 

(2)①设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0),由于直线BD经过D(0,﹣1),B(4,3),

∴ ,

解得 ,

∴直线BD的解析式为y=x﹣1.(5分)

设点P的坐标为(x,x2﹣4x+3),则点H(x,x﹣1),点G(x,3).

1°当x≥1且x≠4时,点G在PH的延长线上,如图①.

∵PH=2GH,

∴(x﹣1)﹣(x2﹣4x+3)=2[3﹣(x﹣1)],

∴x2﹣7x+12=0,

解得x1=3,x2=4.

当x2=4时,点P,H,G重合于点B,舍去.

∴x=3.

∴此时点P的坐标为(3,0).        

2°当0<x<1时,点G在PH的反向延长线上,如图②,PH=2GH不成立.

3°当x<0时,点G在线段PH上,如图③.

∵PH=2GH,

∴(x2﹣4x+3)﹣(x﹣1)=2[3﹣(x﹣1)],

∴x2﹣3x﹣4=0,解得x1=﹣1,x2=4(舍去),

∴x=﹣1.此时点P的坐标为(﹣1,8).

综上所述可知,点P的坐标为(3,0)或(﹣1,8).     

 

②如图④,令x2﹣4x+3=0,得x1=1,x2=3,

∴E(1,0),F(3,0),

∴EF=2.

∴SAEF= EF•OA=3.     

∵△KPH∽△AEF,

∴ ,

∴ . 

∵1<x<4,

∴当 时,sKPH的最大值为 .

故答案为:(0,3),(4,3),(4,﹣1),(0,﹣1).

点评:

考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:坐标轴上的点的坐标特征,抛物线的顶点式,矩形的性质,待定系数法求直线的解析式,相似三角形的性质,二次函数的增减性,分类思想,综合性较强,有一定的难度..

独守空房啦
2015-02-02 · TA获得超过280个赞
知道小有建树答主
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