Question

如图甲，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴点A、B，⊙O的半径为 个单位长度．点P为直线 上的动

如图甲，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴点A、B，⊙O的半径为 个单位长度．点P为直线 上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD ，切点分别为C、D，且PC⊥PD. （1）写出点A、B的坐标：A ( )，B ( )；（2）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；（3）求点P的坐标；（4）如图乙 ，若直线 将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1∶3，请直接写出b的值：b= ．

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Answer 1

（1）A（4，0），B（0，4）；（2）正方形；（3）（1，3）或（3，1）；（4） 或－

试题分析：（1）分别求得直线 与x轴、y轴的交点坐标即可得到结果； （2）连接OC、OD，根据切线的性质可得∠PCO=∠PDO=90°，再有PC⊥PD可得四边形OCPD为矩形，再结合OC=OD即可证得结论； （3）根据P在直线y＝－x＋4上，可设P（m，－m＋4），根据勾股定理即可求得结果； （4）分两种情形，直线 将圆周分成两段弧长之比为1∶3，可知被割得的弦所对的圆心角为90 ，又直线 与坐标轴的夹角为45 ，即可求得结果． （1）在 中，当x=0时，y=4，当y=0时，x=4 则A（4，0），B（0，4）； （2）连接OC、OD ∵PC、PD为⊙O的切线 ∴∠PCO=∠PDO=90° ∵PC⊥PD ∴四边形OCPD为矩形 ∵OC=OD ∴四边形OCPD是正方形； （3）∵P在直线y＝－x＋4上， ∴设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4， ∵∠PFO=90°， ∴OF 2 ＋PF 2 ＝PO 2 ， ∴ m 2 ＋ (－m＋4) 2 ＝（ ） 2 ， 解得m=1或3， ∴P的坐标为（1，3）或（3，1） （4）分两种情形，直线 将圆周分成两段弧长之比为1∶3，可知被割得的弦所对的圆心角为90 ，又直线 与坐标轴的夹角为45 ，如图可知，分两种情况，所以，b的值为 或－ ． 点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，需要学生熟练掌握一次函数的性质的应用.