Question

如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．（1）求证：AB

如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．（1）求证：AB⊥PD；（2）在线段PB上是否存在一点E，使AE∥平面PCD，若存在，指出点E的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD， ∴PA⊥AB． ∵AB⊥AD，PA∩AD=A， ∴AB⊥平面PAD， ∵PD 平面PAD， ∴AB⊥PD． （2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连接AE，EF，DF，则EF是△PBC中位线． ∴EF∥BC，  ， ∵AD∥BC，  ， ∴AD∥EF，AD=EF． ∴四边形EFDA是平行四边形， ∴AE∥DF． ∵AE 平面PCD，DF 平面PCD， ∴AE∥平面PCD． ∴线段PB的中点E是符合题意要求的点． ∴平面AEF∥平面PCD． ∵AE 平面AEF， ∴AE∥平面PCD． ∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．