Question

选修4-1：几何证明与选讲如图，已知 PA 与圆O相切于点A，经过点O的割线 PBC 交圆O于点 B．C ， 的平分线

选修4-1：几何证明与选讲如图，已知 PA 与圆O相切于点A，经过点O的割线 PBC 交圆O于点 B．C ， 的平分线分别交 AB ． AC 于点 D．E． （1）证明： .（2）若 AC=AP ,求 的值.

Answer 1

(1)∵ PA是切线，AB是弦， ∴ ∠BAP=∠C，  ………………………………2分 又 ∵ ∠APD="∠CPE," ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵ ∠ADE="∠BAP+∠APD," ∠AED="∠C+∠CPE,   " …………………………4分 ∴ ∠ADE=∠AED．   …………………………5分 (2)由(1)知∠BAP="∠C," 又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴ ,  ……………7分 ∵ AC="AP," ∴ ∠APC=∠C=∠BAP, 由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°, ∵ BC是圆O的直径，∴ ∠BAC="90°," ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°, ∴ ∠C=∠AP C=∠BAP= ×90°=30°．          ………………………………9分 在Rt△ABC中， = , ∴ = ．

略