Question

（2014?高港区二模）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，且BC=CD，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E

（2014?高港区二模）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，且BC=CD，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若AB=4，DE=1，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵BC=DC
∴弧BC=弧CD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AE，
∴∠OCF=∠E，
∵EC⊥AE，
∴∠E=90°，
∴∠OCF=90°，
∴CE与⊙O相切；

（2）解：连接BD、OD、OC，BD交OC于M，
∵弧BC=弧CD，
∴OC⊥BD，
∴∠OMB=90°，
∵∠E=∠EDB=∠ECO=90°，
∴四边形CMDE是矩形，
∴DE=CM=1，
∵AB=4，
∴OB=OC=2，
∴OM=2-1=1，
∴cos∠BOM=

OM

OB

=

1

2

，
∴∠BOC=60°，
在Rt△BMO中，由勾股定理得：BM=

3

，
∴图中阴影部分的面积S=

60π×22

360

-

1

2

×2×

3

=

2

3

π-

3

．