已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx?12x2+13x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有
已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx?12x2+13x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线(1)求a、b;(2)证明:...
已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx?12x2+13x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线(1)求a、b;(2)证明:f(x)≤g(x);(3)对任意的x1、x2∈(-1,+∞),(x1<x2),当x∈(x1,x2)时,证明:f(x)?f(x1)x?x1>f(x)?f(x2)x?x2.
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(1)解:求导函数可得f′(x)=
,g′(x)=b-x+x2,
∵函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线
∴g(0)=0,f′(0)=g′(0)
∴a=0,b=1. …(4分)
(2)证明:令h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x+
x2?
x3(x>-1),∴h′(x)=-
…(5分)
令h′(x)>0可得-1<x<0;h′(x)<0可得x<-1或x>0,∵x>-1,∴x>0,
∴h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. …(6分)
∴h(x)max=h(0)=0,
∴h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x). …(8分)
(3)证明:设u(x)=(1+x)[f(x)-f(x1)]-(x-x1),则u′(x)=ln(1+x)-ln(1+x1).
当x∈(x1,x2)时,u′(x)>0,u(x)单调递增,
又u(x1)=0,故u(x)>0,即
>
. …(10分)
设v(x)=(1+x)[f(x2)-f(x)]-(x2-x),则v′(x)=ln(1+x2)-ln(1+x).
当x∈(x1,x2)时,v′(x)>0,v(x)单调递增,
又v(x2)=0,故v(x)>0,即
<
.
综上,x∈(x1,x2)时,证明:
>
. …(12分)
1 |
1+x |
∵函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线
∴g(0)=0,f′(0)=g′(0)
∴a=0,b=1. …(4分)
(2)证明:令h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x+
1 |
2 |
1 |
3 |
x3 |
x+1 |
令h′(x)>0可得-1<x<0;h′(x)<0可得x<-1或x>0,∵x>-1,∴x>0,
∴h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. …(6分)
∴h(x)max=h(0)=0,
∴h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x). …(8分)
(3)证明:设u(x)=(1+x)[f(x)-f(x1)]-(x-x1),则u′(x)=ln(1+x)-ln(1+x1).
当x∈(x1,x2)时,u′(x)>0,u(x)单调递增,
又u(x1)=0,故u(x)>0,即
f(x)?f(x1) |
x?x1 |
1 |
1+x |
设v(x)=(1+x)[f(x2)-f(x)]-(x2-x),则v′(x)=ln(1+x2)-ln(1+x).
当x∈(x1,x2)时,v′(x)>0,v(x)单调递增,
又v(x2)=0,故v(x)>0,即
f(x)?f(x2) |
x?x2 |
1 |
1+x |
综上,x∈(x1,x2)时,证明:
f(x)?f(x1) |
x?x1 |
f(x)?f(x2) |
x?x2 |
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