Question

已知数列{an} 中，a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N）．（1）写出a2、a3的值（只写结果）并求出数列{an}的

已知数列{an} 中，a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N）．（1）写出a2、a3的值（只写结果）并求出数列{an}的通项公式；（2）设bn=1an+1+1an+2+1an+3+…+1a2n，求bn的最大值．

Answer 1

（1）∵a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N），
∴a₂=6，a₃=12．…（2分）
当n≥2时，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-1+a_n-2）+（a_n-a_n-1）
=2[1+2+3+…（n-1）+n]
=2×

n(n+1)

2

=n（n+1）．…（5分）
当n=1时，a₁=1×（1+1）=2也满足上式，…（6分）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）．…（7分）
（2）bn＝

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

=

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

+…+

1

2n(2n+1)

=

1

(n+1)

?

1

(n+2)

+

1

(n+2)

?

1

(n+3)

+…+

1

2n

?

1

2n+1

=

1

(n+1)

?

1

(2n+1)

=

n

2n2+3n+1

=

1

(2n+ 1 n )+3

．…（10分）
令f（x）=2x+

1

x

（x≥1），
则f′(x)＝2?

1

x2

，当x≥1时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）_min=f（1）=3．…（13分）
即当n=1时，（b_n）_max=

1

6

．…（14分）