Question

如图所示，一根不能伸长的轻绳一端固定在O点，另一端拴一质量m=0.1kg的小球静止于A点，其右方有半径r=0.2

如图所示，一根不能伸长的轻绳一端固定在O点，另一端拴一质量m=0.1kg的小球静止于A点，其右方有半径r=0.2m的圆形转筒，转筒顶端与A等高，底端左侧有一个小孔，孔距顶端h=0.8m．开始时，小球处于O点所在水平面上方α=30°的位置B，且轻绳刚好伸直，OB及OA与转筒的轴线在同一竖直平面内，小孔此时也位于该竖直平面内．现在将小球从B点由静止释放，让它先自由落体一段时间之后，再沿圆弧运动到A点（已知小球经过A点时的速度vA=25 m/s），此时轻绳突然断掉，同时转筒立刻以某一角速度ω做匀速转动，最终小球恰好进入小孔．取g=10m/s2，5=2.236，不计空气阻力．（1）求转筒轴线与A点的距离d；（2）求转筒转动的角速度ω；（3）欲求轻绳的长度l，某同学的解法如下：小球从B点运动到A点过程中，只有重力做功，由动能定理有：mgl（1+sin 30°）=12mvA2，代入数据，即可求得l．上述解法是否正确？如果正确，请完成此题；如果不正确，请给出正确的解答．

Answer 1

（1）小球平抛运动时，竖直方向：h=

1

2

gt2…①
水平方向：x=v_At  …②
d=x+r  …③
由①②③式得：d=1.99 m　    
t=0.4s
（2）由于小球恰落入小孔，在小球平抛运动的同时，圆筒转过的圈数应该为整数n，即：
ω=

2nπ

t

=5nπ rad/s（n=1，2，3，…）
（3）不正确．
小球自B点释放后，自由落体到与水平线对称的位置时，由动能定理：
mgl=

1

2

m

v

2 1

…③
它垂直于绳子方向的分速度为：v_1⊥=v₁cos30°…④
小球由此位置到A的过程中：mgl（1-cos60°）=

1

2

m

v

2 A

?

1

2

m

v

2 1⊥

…⑤
由③④⑤式得：l=0.8 m
答：（1）转筒轴线与A点的距离d为1.99m；
（2）转筒转动的角速度ω5nπ rad/s（n=1，2，3，…）；
（3）不正确，由动能定理：
mgl=

1

2

m

v

2 1

…③
它垂直于绳子方向的分速度为：v_1⊥=v₁cos30°…④
小球由此位置到A的过程中：mgl（1-cos60°）=

1

2

m

v

2 A

?

1

2

m

v

2 1⊥

…⑤
由③④⑤式得：l=0.8 m