如图1，点A是反比例函数y1=2x（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y2=kx（k＜0
如图1，点A是反比例函数y1=2x（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y2=kx（k＜0，x＜0）的图象于点B．（1）若S△AOB=3，则k...
如图1，点A是反比例函数y1=2x（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y2=kx（k＜0，x＜0）的图象于点B．（1）若S△AOB=3，则k=______；（2）当k=-8时：①若点A的横坐标是1，求∠AOB的度数；②将①中的∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，如图2所示．在旋转的过程中，∠OMN的度数是否变化？并说明理由；（3）如图1，若不论点A在何处，反比例函数y2=kx（k＜0，x＜0）图象上总存在一点D，使得四边形AOBD为平行四边形，求k的值．
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（1）AB交y轴于H，如图1，
∵AB∥x轴，
∴S△AOH=
×2=1，S△BOH=
|k|，
∵S△AOB=3，
∴1+
|k|=3，解得k=4或-4，
而k＜0，
∴k=-4；
故答案为-4；
（2）①把x=1代入y=
得y=2，
∴A点坐标为（1，2），
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为2，
把y=2代入y=-
得-
=2，解得x=-4，
∴B点坐标为（-4，2），
∴AH=1，BH=4，OH=2，
∴OA=
=
，AB=5
∴
=
=
，
而∠HAO=∠OAB，
∴△HAO∽△OAB，
∴∠AOB=∠OHA=90°，
②不变化．理由如下：
作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，如图2，
设M（a，
），N（b，-
），则MF=
，OF=a，OE=-b，NE=-
，
∵∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，
∴∠MON=90°，
∴∠NOE+∠MOF=90°，
而∠NOE+∠ONE=90°，
∴∠ONE=∠MOF，
∴Rt△ONE∽Rt△MOF，
∴
=
=
∵AB∥x轴，
∴S△AOH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵S△AOB=3，
∴1+
| 1 |
| 2 |
而k＜0，
∴k=-4；
故答案为-4；
（2）①把x=1代入y=
| 2 |
| x |
∴A点坐标为（1，2），
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为2，
把y=2代入y=-
| 8 |
| x |
| 8 |
| x |
∴B点坐标为（-4，2），
∴AH=1，BH=4，OH=2，
∴OA=
| AH2+OH2 |
| 5 |
∴
| AH |
| OA |
| OA |
| AB |
| ||
| 5 |
而∠HAO=∠OAB，
∴△HAO∽△OAB，
∴∠AOB=∠OHA=90°，
②不变化．理由如下：
作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，如图2，
设M（a，
| 2 |
| a |
| 8 |
| b |
| 2 |
| a |
| 8 |
| b |
∵∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，
∴∠MON=90°，
∴∠NOE+∠MOF=90°，
而∠NOE+∠ONE=90°，
∴∠ONE=∠MOF，
∴Rt△ONE∽Rt△MOF，
∴
| NE |
| OF |
| OE |
| MF |
| ON |
