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整式的加减怎么变号举例说明

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Answer 1

　　整 式 加 减

　　整式的加减是全章的重点，是我们今后学习方程，方程组及分式，根式等知识的基础知识，我们应掌握整式加减的一般步骤，达到能熟练地进行整式加减运算。

　　一、本讲知识重点

　　1．同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

　　例如，在多项式3m2n+6mn2-mn2-m2n中，3m2n与-m2n两项都含字母m,n，并且m的次数都是2，n的次数都是1，所以它们是同类项；6mn2与-mn2两项，都含有字母m,n，且m的次数都是1，n的次数都是2，所以它们也是同类项。

　　在判断同类项时要抓住“两个相同”的特点，（即所含字母相同，并且相同字母的次数也相同）并且不忘记几个常数也是同类项。

　　2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

　　合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

　　例如：合并同类项3m2n+6mn2-mn2-m2n中的同类项：

　　原式=(3m2n-m2n)+( 6mn2-mn2)
　　=(3-)m2n+(6-)mn2
　　=m2n+mn2

　　合并同类项的依据是：加法交换律，结合律及分配律。要特别注意不要丢掉每一项的符号。

　　例如，合并下式中的同类项：-3x2y+5xy2-6xy2+4-7x2y-9

　　解：原式=-3x2y+5xy2-6xy2+4-7x2y-9(用不同记号将同类项标出，不易出错漏项)
　　=(-3x2y-7x2y)+(5xy2-6xy2)+(4-9)（利用加法交换律，结合律将同类项分别集中）
　　=(-3-7)x2y+(5-6)xy2-5（逆用分配律）
　　=-10x2y-xy2-5（运用法则合并同类项）

　　多项式中，如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，这两项就相互抵消，结果为0。如：
　　7x2y-7x2y=0，-4ab+4ab=0，-6+6=0等等。

　　有时我们可以利用合并同类项的法则来处理一些问题，如，多项式2(a+b)2-3(a+b)2-(a+b)2-0.25(a+b)2中，我们可以把(a+b)2看作一个整体，于是可以利用合并同类项法则将上式化简：原式=(2-3--0.25)(a+b)2
　　=-(a+b)2，在这里我们将合并同类项的意义进行了扩展。

　　3．去括号与添括号法则：

　　我们在合并同类项时，有时要去括号或添括号，一定要弄清法则，尤其是括号前面是负号时要更小心。

　　去括号法则：括号前面是“+”号，去掉括号和“+”号，括号里各项都不变符号；括号前面是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里各项都改变符号。即a+(b+c)=a+b+c；a-(b+c)=a-b-c。

　　添括号法则：添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。即a+b+c=a+(b+c), a-b+c=a-(b-c)

　　我们应注意避免出现如下错误：去括号a2-(3a-6b+c)=a2-3a-6b+c，其错误在于：括号前面是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里的各项都要改变符号，而上述作法只改变了3a的符号，而其它两项末变，因此造成错误。正确做法应是：a2-(3a-6b+c)=a2-3a+6b-c。又如在m+3n-2p+q=m+( )中的括号内应填上3n-2p+q，在
　　m-3n-2p+q=m-( )中的括号内应填上3n+2p-q。

　　4．整式加减运算：

　　（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接。如单项式xy2, -3x2y, 4xy2,
　　-5x2y的和表示xy2+(-3x2y)+4xy2+(-5x2y)，又如：a2+ab+b2与2a2+3ab-b2的差表示为(a2+ab+b2)-(2a2+3ab-
　　b2)

　　（2）整式加减的一般步骤：
　　①如果遇到括号，按去括号法则先去括号；
　　②合并同类项
　　③结果写成代数和的形式，并按一定字母的降幂排列。

　　整式加减的结果仍是整式。
　　从步骤可看出合并同类项和去括号、添括号法则是整式加减的基础。

　　二、例题

　　例1、合并同类项
　　（1）(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y)
　　（2）2a-[3b-5a-(3a-5b)]
　　（3）(6m2n-5mn2)-6(m2n-mn2)

　　解：（1）(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y)
　　=3x-5y-6x-7y+9x-2y （正确去掉括号）
　　=(3-6+9)x+(-5-7-2)y （合并同类项）
　　=6x-14y

　　（2）2a-[3b-5a-(3a-5b)] （应按小括号，中括号，大括号的顺序逐层去括号）
　　=2a-[3b-5a-3a+5b] （先去小括号）
　　=2a-[-8a+8b] （及时合并同类项）
　　=2a+8a-8b （去中括号）
　　=10a-8b

　　（3）(6m2n-5mn2)-6(m2n-mn2) （注意第二个括号前有因数6）
　　=6m2n-5mn2-2m2n+3mn2 （去括号与分配律同时进行）
　　=(6-2)m2n+(-5+3)mn2 （合并同类项）
　　=4m2n-2mn2

　　例2．已知：A=3x2-4xy+2y2，B=x2+2xy-5y2
　　求：（1）A+B （2）A-B （3）若2A-B+C=0，求C。

　　解：(1）A+B=(3x2-4xy+2y2)+(x2+2xy-5y2)
　　=3x2-4xy+2y2+x2+2xy-5y2（去括号）
　　=(3+1)x2+(-4+2)xy+(2-5)y2（合并同类项）
　　=4x2-2xy-3y2（按x的降幂排列）

　　（2）A-B=(3x2-4xy+2y2)-(x2+2xy-5y2)
　　=3x2-4xy+2y2-x2-2xy+5y2 （去括号）
　　=(3-1)x2+(-4-2)xy+(2+5)y2 （合并同类项）
　　=2x2-6xy+7y2 （按x的降幂排列）

　　（3）∵2A-B+C=0

　　∴C=-2A+B
　　=-2(3x2-4xy+2y2)+(x2+2xy-5y2)
　　=-6x2+8xy-4y2+x2+2xy-5y2 （去括号，注意使用分配律）
　　=(-6+1)x2+(8+2)xy+(-4-5)y2 （合并同类项）
　　=-5x2+10xy-9y2 （按x的降幂排列）

　　例3．计算：
　　（1）m2+(-mn)-n2+(-m2)-(-0.5n2)

　　（2）2(4an+2-an)-3an+(an+1-2an+1)-(8an+2+3an)

　　（3）化简：(x-y)2-(x-y)2-[(x-y)2-(x-y)2]

　　解：（1）m2+(-mn)-n2+(-m2)-(-0.5n2)
　　=m2-mn-n2-m2+n2 （去括号）
　　=(-)m2-mn+(-+)n2 （合并同类项）
　　=-m2-mn-n2 （按m的降幂排列）

　　（2）2(4an+2-an)-3an+(an+1-2an+1)-(8an+2+3an)
　　=8an+2-2an-3an-an+1-8an+2-3an （去括号）
　　=0+(-2-3-3)an-an+1 （合并同类项）
　　=-an+1-8an

　　（3）(x-y)2-(x-y)2-[(x-y)2-(x-y)2] [把(x-y)2看作一个整体]
　　=(x-y)2-(x-y)2-(x-y)2+(x-y)2 （去掉中括号）
　　=(1--+)(x-y)2 （“合并同类项”）
　　=(x-y)2

　　例4求3x2-2{x-5[x-3(x-2x2)-3(x2-2x)]-(x-1)}的值，其中x=2。

　　分析：由于已知所给的式子比较复杂，一般情况都应先化简整式，然后再代入所给数值x=-2，去括号时要注意符号，并且及时合并同类项，使运算简便。

　　解：原式=3x2-2{x-5[x-3x+6x2-3x2+6x]-x+1} （去小括号）
　　=3x2-2{x-5[3x2+4x]-x+1} （及时合并同类项）
　　=3x2-2{x-15x2-20x-x+1} （去中括号）
　　=3x2-2{-15x2-20x+1} （化简大括号里的式子）
　　=3x2+30x2+40x-2 （去掉大括号）
　　=33x2+40x-2

　　当x=-2时，原式=33×(-2)2+40×(-2)-2=132-80-2=50

　　例5．若16x3m-1y5和-x5y2n+1是同类项，求3m+2n的值。

　　解：∵16x3m-1y5和-x5y2n+1是同类项

　　∴对应x,y的次数应分别相等

　　∴3m-1=5且2n+1=5

　　∴m=2且n=2

　　∴3m+2n=6+4=10

　　本题考察我们对同类项的概念的理解。

　　例6．已知x+y=6，xy=-4，求: (5x-4y-3xy)-(8x-y+2xy)的值。

　　解：(5x-4y-3xy)-(8x-y+2xy)
　　=5x-4y-3xy-8x+y-2xy
　　=-3x-3y-5xy
　　=-3(x+y)-5xy

　　∵x+y=6，xy=-4

　　∴原式=-3×6-5×(-4)=-18+20=2

　　说明：本题化简后，发现结果可以写成-3(x+y)-5xy的形式，因而可以把x+y，xy的值代入原式即可求得最后结果，而没有必要求出x,y的值，这种思考问题的思想方法叫做整体代换，希望同学们在学习过程中，注意使用。

　　三、练习

　　（一）计算：

　　（1）a-(a-3b+4c)+3(-c+2b)

　　（2）(3x2-2xy+7)-(-4x2+5xy+6)

　　（3）2x2-{-3x+6+[4x2-(2x2-3x+2)]}

　　（二）化简

　　（1）a>0，b<0，|6-5b|-|3a-2b|-|6b-1|

　　（2）1<a<3，|1-a|+|3-a|+|a-5|

　　（三）当a=1，b=-3，c=1时，求代数式a2b-[a2b-(5abc-a2c)]-5abc的值。

　　（四）当代数式-(3x+6)2+2取得最大值时，求代数式5x-[-x2-(x+2)]的值。

　　（五）x2-3xy=-5，xy+y2=3，求x2-2xy+y2的值。

　　练习参考答案：

　　（一）计算：

　　（1）-a+9b-7c （2）7x2-7xy+1 （3）-4

　　（二）化简

　　（1）∵a>0, b<0

　　∴|6-5b|-|3a-2b|-|6b-1|
　　=6-5b-(3a-2b)-(1-6b)
　　=6-5b-3a+2b-1+6b=-3a+3b+5

　　（2）∵1<a<3

　　∴|1-a|+|3-a|+|a-5|=a-1+3-a+5-a=-a+7

　　（三）原式=-a2b-a2c= 2

　　（四）根据题意，x=-2,当x=-2时，原式=-

　　（五）-2（用整体代换）

参考资料http://zhidao.baidu.com/link?url=h9mae6Yr61AAeQsU6cSyAm6Pemv4jLoEES3v-EZtZxDr_net4wM5pbEiAz0d7lLaQvHrwDWyk7EKpeHGWr9pFa
望采纳。