Question

设过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则

设过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则有|OA|＝p╱（1-cosα）α为AB所在直线的倾斜角求证明

Answer 1

（1）抛物线的焦点为（p/2，0），设直线方程为 x=my+p/2 ，
代入抛物线方程得 y^2=2p(my+p/2) ，
化简得 y^2-2pmy-p^2=0 ，
因为 y1、y2 是方程的两个根 ，
因此，由二次方程根与系数的关系可得 y1*y2= -p^2 ，
所以 x1*x2= y1^2/(2p)*y2^2/(2p)=(y1*y2)^2/(4p^2)=p^4/(4p^2)=p^2/4 。
（2）由于 |AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(m^2+1)*(y2-y1)^2=(m^2+1)*[(y1+y2)^2-4y1*y2]
=(m^2+1)*[(2pm)^2-4*(-p^2)]=4p^2*(m^2+1)^2 ，
因此，当 m=0 时，|AB| 最小 ，为 √(4p^2)=2p 。