已知函数f(x)＝x2+2x+a，x＜0lnx，x＞0，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图
已知函数f(x)＝x2+2x+a，x＜0lnx，x＞0，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f...
已知函数f(x)＝x2+2x+a，x＜0lnx，x＞0，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2-x1≥1；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
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（I）函数f（x）的单调减区间（-∞，-1），函数f（x）的单调增区间[-1，0），（0，+∞）；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），
函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=-1，
当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=-1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，
∴x2-x1=
[-（2x1+2）+（2x2+2）]≥
=1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2-x1≥1；
（III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，
当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y-（x 12+2x1+a）=（2x1+2）（x-x1）；
当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y-lnx2=
（x-x2）；
两直线重合的充要条件是
，
由①及x1＜0＜x2得0＜
＜2，由①②得a=lnx2+（
?1）2-1=-ln
+
（
?2）2-1，
令t=
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），
函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=-1，
当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=-1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，
∴x2-x1=
| 1 |
| 2 |
| [?(2x1+2)](2x2+2) |
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2-x1≥1；
（III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，
当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y-（x 12+2x1+a）=（2x1+2）（x-x1）；
当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y-lnx2=
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两直线重合的充要条件是
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由①及x1＜0＜x2得0＜
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| 2x2 |
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令t=
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