Question

已知z为虚数， z+ 9 z-2 为实数．（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；（2）求|z-4|的取值范围

已知z为虚数， z+ 9 z-2 为实数．（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；（2）求|z-4|的取值范围．

Answer 1

（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），则z-2=x-2+yi， 由z-2为纯虚数得x=2，∴z=2+yi，…（2分） 则  z+ 9 z-2 =2+yi+ 9 yi =2+(y- 9 y )i∈R ，…（4分） 得 y- 9 y =0 ，y=±3，…（6分）   所以z=2+3i或z=2-3i．…（7分） （2）∵ z+ 9 z-2 =x+yi+ 9 x+yi-2 =x+ 9(x-2) (x-2) 2 + y 2 +[y- 9y (x-2) 2 + y 2 ]i∈R ， ∴ y- 9y (x-2) 2 + y 2 =0 ，∵y≠0，∴（x-2） 2 +y 2 =9，…（10分） 由（x-2） 2 ＜9得x∈（-1，5），…（12分） ∴ |z-4|=|x+yi-4|= (x-4) 2 + y 2 = (x-4) 2 +9- (x-2) 2 = 21-4x ∈(1，5) ．…（15分）