Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+ax 2 ，x∈[0，+∞），a∈R (1)当a= 1 2 时，求证：在[0

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+ax 2 ，x∈[0，+∞），a∈R (1)当a= 1 2 时，求证：在[0，+∞)上f(x)≥0， (2)若不等式f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围. ．

Answer 1

（1）当a= 1 2 时，f（x）=ln（1+x）-x+ 1 2 x 2 ， ∴f′（x）= 1 1+x -1+x = x 2 1+x ≥0在x∈[0，+∞）恒成立， ∴f（x）在[0，+∞）上单调递增， ∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=0， 故当x∈[0，+∞）时，f（x）≥0； （2）∵f′（x）= 1 1+x -1+2ax = 2a x 2 +(2a-1)x 1+x ， ①当 2a≥0 2a-1≥0 ，即a ≥ 1 2 时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≥f（0）=0； ②当 2a＜0 2a-1＜0 ，即a＜0时，f′（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≤f（0）=0与题意不符； ③当 2a＞0 2a-1＜0 ，即0 ＜a＜ 1 2 时，f′（x）= 2a x 2 +(2a-1)x 1+x = 2ax(x- 1-2a 2a ) 1+x ， 故在[0， 1-2a 2a ）上，f′（x）≤0， ∴f（x）≤f（0）=0与题意不符， 综上可得当且仅当a ≥ 1 2 时，f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．